Bất đẳng thức Bunhiacopsky:D

1/ Bđt Buniakovsky cho 2 số không âm
Cho 4 số thực
.
Ta luôn có bđt:
Dấu bằng xảy ra
2/ Bđt Buniakovsky cho n số không âm
Với
2n số thực
,
ta có:

Chứng minh:
Xét tam thức bậc hai:


Dễ dàng biến đổi





=> bđt đúng.

Dấu bằng xảy ra


4.Một dạng khác của bđt Buniakovsky (còn
được gọi là bđt Schwartz):
Cho hai dãy số thực

trong đó

và

Khi đó ta có:


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi:

II. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BĐT
BUNIAKOVSKY
VD: (Kỹ thuật sử dụng điểm rơi)
Cho

thỏa .
Tìm GTNN của biểu thức:



Hướng giải:
Xét biểu thức

. Ta tìm cách khử căn của biểu thức này.
Viết
lại:

Dấu bằng xảy ra

Dự đoán dấu bằng khi S đạt GTNN xảy ra .
Thay
vào (*)


Giải:
Áp dụng bđt Buniakovsky ta có:


Lại có:

hay

Dấu bằng xảy ra

VD: Cho

là các số thực dương. Chứng minh:

Giải:
Đặt
.

Dễ thấy .
Theo bất đẳng thức Schwartz ta có:

Theo bất đẳng thức Buniakovsky ta có:

Để
ý:
Thay vào (2) ta có:

Thay vào (1) ta có:
(đpcm)
Dấu bằng xảy
ra

VD: Cho a,b,c không âm bất kì, cm:

Giải:
Sử dụng bất đẳng thức Buniakovsky,
ta
có:

Không mất tính tổng quát, giả sử

và
.
Khi đó, ta chỉ cần chứng minh:


Từ
, ta có:

Vì vậy:

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra